Statistiques inférentielles

Si vous voulez vérifier l'approximation asymptotique d'une erreur d'estimation réduite ou encore la validité du seuil d'erreur des intervalles de confiance, c'est .

Si voulez une façon type d'insérer avec Python des intervalles de confiance dans un graphe, c'est ici et si vous voulez que votre graphe présente une échelle double, c'est .

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Dernier programme de colle.

Le dernier programme de colle a été mis à jour et insiste sur la maîtrise du chapitre 10.

Merci pour ce beau poisson...!

Voici le mien que vous pouvez tester :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(t):
    return(np.cos(t)+2*np.sqrt(2)*np.cos(t/2))
T= np.linspace(0,4*np.pi,100)
X = f(T)
Y = np.sin(T)
plt.figure("Poisson d'Avril")
plt.plot(X,Y,"b",linewidth=5)
oeil = plt.scatter(3, 0, s=100, color='r')
plt.axis("equal")
plt.show()

 

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Préparation du TD de samedi 1 avril

Pour mettre en pratique la méthode des moindres carrés, vous trouverez ci-dessous les deux fichiers dont vous aurez besoin, extraits tout les deux de données américaines collectées par le "Center for Disease Control and Prevention".

Bonne soirée et à samedi.

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Devoir surveillé n° 6

Pour les plus courageux, vous trouverez dans l'onglet "devoirs" le corrigé du devoir de ce matin.

Et pour ceux qui veulent penser à autre chose, une petite vidéo pour prouver qu'on peut s'amuser avec des maths, danser son sujet de thèse, issue d'une initiative originale américaine intitulée "Dance your Ph.D".

On y trouve même des thèses de bio dansées.

Bon week-end à tous.

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Programme de colles

Le programme de colles des semaines 19 à 20 est en ligne.
Pardon pour ce retard !

Et pour me faire pardonner, une petite animation sur des courbes en 3D (cliquer sur l'image pour l'animer).
Bon week-end à tous.

Dû à Rémi Coutens (PSI, Jean Perrin)

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Saint-Valentin

comment faire cohabiter mathématiques et Saint-Valentin ?

Voilà une vidéo en guise de clin d’œil qui prouve que c'est possible. On la doit à Mickaël Launay dont je vous recommande les vidéos enthousiastes.

Bon début de semaine et bonnes vacances à tous !

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Devoir surveillé n°3

La correction du devoir de ce samedi 26 novembre est en ligne.

Bonne lecture et bon week-end à tous.

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Intégration et séries numériques - La somme de Mercator

Le TP d'informatique sur les méthodes numériques d'approximation d'une intégrale trouve sa place en deuxième partie du notebook sur les polynômes.
Historiquement, ce sont les séries numériques (arithmétique des infinis initiée en grande partie par Wallis dès 1655) qui, dès l'élaboration du calcul intégrale au XVIIè siècle, s'avèrent avoir la plus grande intimité avec les problèmes dits "de quadrature", alors très à la mode.

Observons comment Nicolas Mercator, dans son Logarithmotechnia de 1668, justifie la formule qui porte aujourd'hui son nom (bien qu'obtenue sous une forme proche, mais non publiée, par Newton dès 1736) :

\ln(1+x)=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cdots

Dans un premier temps, les logarithmes ne semblent pas l'intéresser et il se concentre sur la quadrature de l'hyperbole en donnant le moyen d'approcher \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt .

hyperboleNous traduisons sa présentation aujourd'hui difficile à suivre car elle repose sur le langage des indivisibles (somme de lignes ou de petits rectangles de largeur infiniment petite), présentation d'ailleurs suffisamment compliquée pour que Wallis, la même année, en fournisse une réécriture que nous allons suivre :

  1. Il met en évidence la subdivision régulière sur l'intervalle [1,1+h] définie par c_k=1+k\cfrac{h}{n}, 0\leq k\leq n et écrit que \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{1+\frac{kh}{n}}
  2. Il montre [Prop. XIV] que \cfrac{1}{1+a}\approx 1-a+a^2-a^3+a^4 (&c).
    Il le fait non pas comme nous l'avons fait en cours, en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, mais en utilisant une division suivant les puissances croissantes de a.
    Notons que, même si la question de la convergence d'une telle somme ne se pose pas explicitement au XVIIè siècle, Wallis souligne que a ne doit pas être supérieur 1 (il va de soi que a est positif...).
  3. On peut penser qu'il suffit d'intégrer la relation qui précède pour obtenir la somme attendue sauf qu'il n'est pas du tout évident, à cette époque, que l'aire sous l'hyperbole soit un logarithme, autrement dit que : \int_0^{h}\cfrac{1}{1+t}dt=\ln(1+h)...La démarche est donc la suivante :\cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}=1-\cfrac{h}{n}+\cfrac{h^2}{n^2}-\cfrac{h^3}{n^3}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}=1-\cfrac{2h}{n}+\cfrac{4h^2}{n^2}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}=1-\cfrac{3h}{n}+\cfrac{9h^2}{n^2}+\cdots
    \cdots
    \cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}=1-(n-1)\cfrac{h}{n}+(n-1)^2\cfrac{h^2}{n^2}+\cdots

    Or, comme :

    \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\left(1+\cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}+ \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}+\cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}+\cdots +\cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}\right)

    On obtient en regroupant les termes :\displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k+\cfrac{h^3}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\cdots

  4. Or Wallis a démontré que \cfrac{1}{n^{i+1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^i tend vers \cfrac{1}{i+1} quand n tend vers l'infini.
  5. Finalement, on a obtenu que : \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Question : Sauriez vous redémontrer le point 4. ?

Quant à Mercator, son travail n'est pas fini car il s'assure dans un second temps du caractère logarithmique des aires hyperboliques obtenues, ce qui donne lieu à des calculs fastidieux dont je vous dispense.

Finalement, il obtient bien pour peu que |h|<1 :

\ln(1+h)=h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Retenons que ce travail de Mercator préfigure l'adoption par les mathématiciens de la fin du XVIIè du développement en séries pour le calcul des logarithmes. En parallèle, ils identifieront aires hyperboliques et logarithmes.

Quant à vous, bien loin des tâtonnements des débuts de l'histoire des logarithmes, vous relierez l'exercice 6 du TD 1 pour une preuve conforme à la rigueur contemporaine et à votre programme, que pour h=1, on a bien :

\ln(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{k-1}} {k}

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Un peu de lecture.

je recommande, pour compléter le cours sur les séries numériques, la lecture de l'article intitulé "sommes de séries de nombres réels" publié sur le site Image des maths qui dépend du CNRS.

Vous y trouverez des résultats nouveaux mais vous reconnaîtrez, j'espère, de nombreuses séries à notre programme.

Et pour ceux d'entre vous qui souhaitez une approche plus ludique et brève, je suggère cette vidéo sur la série harmonique, en 5 mn chrono !

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Après l'effort...

...  des efforts... ! vous trouverez dans l'onglet des devoirs, outre le corrigé du devoir de ce samedi, le texte du devoir maison qui sera distribué lundi à rendre pour le mercredi 19 octobre. Vous pourrez télécharger les fichiers sources associés qui vous permettront de tester et mettre en pratique vos réponses.

Le notebook sur les procédures de tri est en ligne et sera complété lundi par une application des tris à la recherche des "k-mères" les plus fréquents dans une séquence génétique.chocolat

Quant au développement limité mystère proposé par Leibniz, les chocolats attendent toujours preneur...!

Bon week-end à tous.

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