Devoir surveillé n°3

La correction du devoir de ce samedi 26 novembre est en ligne.

Bonne lecture et bon week-end à tous.

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Intégration et séries numériques - La somme de Mercator

Le TP d'informatique sur les méthodes numériques d'approximation d'une intégrale trouve sa place en deuxième partie du notebook sur les polynômes.
Historiquement, ce sont les séries numériques (arithmétique des infinis initiée en grande partie par Wallis dès 1655) qui, dès l'élaboration du calcul intégrale au XVIIè siècle, s'avèrent avoir la plus grande intimité avec les problèmes dits "de quadrature", alors très à la mode.

Observons comment Nicolas Mercator, dans son Logarithmotechnia de 1668, justifie la formule qui porte aujourd'hui son nom (bien qu'obtenue sous une forme proche, mais non publiée, par Newton dès 1736) :

\ln(1+x)=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cdots

Dans un premier temps, les logarithmes ne semblent pas l'intéresser et il se concentre sur la quadrature de l'hyperbole en donnant le moyen d'approcher \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt .

hyperboleNous traduisons sa présentation aujourd'hui difficile à suivre car elle repose sur le langage des indivisibles (somme de lignes ou de petits rectangles de largeur infiniment petite), présentation d'ailleurs suffisamment compliquée pour que Wallis, la même année, en fournisse une réécriture que nous allons suivre :

  1. Il met en évidence la subdivision régulière sur l'intervalle [1,1+h] définie par c_k=1+k\cfrac{h}{n}, 0\leq k\leq n et écrit que \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{1+\frac{kh}{n}}
  2. Il montre [Prop. XIV] que \cfrac{1}{1+a}\approx 1-a+a^2-a^3+a^4 (&c).
    Il le fait non pas comme nous l'avons fait en cours, en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, mais en utilisant une division suivant les puissances croissantes de a.
    Notons que, même si la question de la convergence d'une telle somme ne se pose pas explicitement au XVIIè siècle, Wallis souligne que a ne doit pas être supérieur 1 (il va de soi que a est positif...).
  3. On peut penser qu'il suffit d'intégrer la relation qui précède pour obtenir la somme attendue sauf qu'il n'est pas du tout évident, à cette époque, que l'aire sous l'hyperbole soit un logarithme, autrement dit que : \int_0^{h}\cfrac{1}{1+t}dt=\ln(1+h)...La démarche est donc la suivante :\cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}=1-\cfrac{h}{n}+\cfrac{h^2}{n^2}-\cfrac{h^3}{n^3}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}=1-\cfrac{2h}{n}+\cfrac{4h^2}{n^2}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}=1-\cfrac{3h}{n}+\cfrac{9h^2}{n^2}+\cdots
    \cdots
    \cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}=1-(n-1)\cfrac{h}{n}+(n-1)^2\cfrac{h^2}{n^2}+\cdots

    Or, comme :

    \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\left(1+\cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}+ \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}+\cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}+\cdots +\cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}\right)

    On obtient en regroupant les termes :\displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k+\cfrac{h^3}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\cdots

  4. Or Wallis a démontré que \cfrac{1}{n^{i+1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^i tend vers \cfrac{1}{i+1} quand n tend vers l'infini.
  5. Finalement, on a obtenu que : \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Question : Sauriez vous redémontrer le point 4. ?

Quant à Mercator, son travail n'est pas fini car il s'assure dans un second temps du caractère logarithmique des aires hyperboliques obtenues, ce qui donne lieu à des calculs fastidieux dont je vous dispense.

Finalement, il obtient bien pour peu que |h|<1 :

\ln(1+h)=h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Retenons que ce travail de Mercator préfigure l'adoption par les mathématiciens de la fin du XVIIè du développement en séries pour le calcul des logarithmes. En parallèle, ils identifieront aires hyperboliques et logarithmes.

Quant à vous, bien loin des tâtonnements des débuts de l'histoire des logarithmes, vous relierez l'exercice 6 du TD 1 pour une preuve conforme à la rigueur contemporaine et à votre programme, que pour h=1, on a bien :

\ln(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{k-1}} {k}

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Un peu de lecture.

je recommande, pour compléter le cours sur les séries numériques, la lecture de l'article intitulé "sommes de séries de nombres réels" publié sur le site Image des maths qui dépend du CNRS.

Vous y trouverez des résultats nouveaux mais vous reconnaîtrez, j'espère, de nombreuses séries à notre programme.

Et pour ceux d'entre vous qui souhaitez une approche plus ludique et brève, je suggère cette vidéo sur la série harmonique, en 5 mn chrono !

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Après l'effort...

...  des efforts... ! vous trouverez dans l'onglet des devoirs, outre le corrigé du devoir de ce samedi, le texte du devoir maison qui sera distribué lundi à rendre pour le mercredi 19 octobre. Vous pourrez télécharger les fichiers sources associés qui vous permettront de tester et mettre en pratique vos réponses.

Le notebook sur les procédures de tri est en ligne et sera complété lundi par une application des tris à la recherche des "k-mères" les plus fréquents dans une séquence génétique.chocolat

Quant au développement limité mystère proposé par Leibniz, les chocolats attendent toujours preneur...!

Bon week-end à tous.

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Aux origines des développements limités...

En avril 1691, Leibniz rédige un article dans les Acta Eruditorum destiné à mettre à la portée des navigateurs les propriétés de la loxodromie : "Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum quae centrum habent, indeque ducta trigonometria conanica ad quatamucunque in numeris exactis exactitudinem a tabularum necessitate" (Quadrature arithmétique commune aux section coniques à centre d'où sont déduites des règles de trigonométrie permettant d'obtenir tout l'exactitude qu'on souhaite, sans avoir besoin de tables).

L'idée est de conférer, dans les calculs d'approximation, la préférence aux "développements limités" sur les tables numériques disponibles à l'époque. Il s'en expliquait d'ailleurs dans une lettre à Galloys de décembre 1678 : "en retenant seulement dans la mémoire deux progressions très simples que j'y donne et qu'on ne saurait quasi oublier, quand on les a une fois apprise (;-), on pourra résoudre par là aisément tous les problèmes de Trigonométrie, sans les Tables, sans les instruments, et sans livres, avec autant d'exactitude qu'on voudra. Ce qui sera d'un grandissime usage pour les voyageurs, qui ne peuvent pas toujours porter leurs livres avec eux. avoir des tables est une commodité, mais ne pouvoir pas résoudre les problèmes sans les tables est une imperfection de la science, à laquelle je prétends d'avoir remédié."

Énigme : Sauriez-vous reconnaître et justifier les formules suivantes, données par Leibniz dans son article, en précisant que le sinus de l'ancienne géométrie correspond au produit du sinus moderne par le rayon du cercle, le sinus du complémentaire correspond au produit de notre cosinus par le rayon et le sinus verse à la différence entre le rayon et le sinus du complémentaire (soit r\cdot\left(1-\cos(a)\right)...) ?

"Soit donc un rayon égal à un, un arc a, t la tangente, s le sinus droit, v le sinus verse, l un logarithme, 1+n le nombre, nous aurons :

  1.  a=\cfrac{1}{1}t-\cfrac{1}{3}t^3+\cfrac{1}{5}t^5-\cfrac{1}{7}t^7 etc.
  2. s = a-\cfrac{a^3}{1.2.3}+\cfrac{a^5}{1.2.3.4.5} etc.
  3. v = \cfrac{a^2}{1.2}-\cfrac{a^4}{1.2.3.4}+\cfrac{a^6}{1.2.3.4.5.6}etc.
  4. l = \cfrac{1}{1}n-\cfrac{1}{2}n^2+\cfrac{1}{3}n^3-\cfrac{1}{4}n^4etc.
  5. n = \cfrac{l}{1}+\cfrac{l^2}{1.2}+\cfrac{l^3}{1.2.3}+\cfrac{l^4}{1.2.3.4}etc.

Ce à quoi il ajoutait :

"j'ai préféré ne recopier que les séries de composition assez facile pour se fixer aisément dans la mémoire, susceptibles de suppléer en tout lieu le défaut de livres ou de tables. Je ne leur en adjoindrai qu'une seul, parce qu'elle est très simple et qu'elle a fourni le point de départ de cet article : soient c les sinus des angles complémentaires, les sinus directs ou plutôt ce qui revient au même, leurs inverses, auront pour logarithme :

\cfrac{1}{2}c^2+\cfrac{1}{4}c^4+\cfrac{1}{6}c^6+\cfrac{1}{8}c^8 etc."

Question : Sauriez-vous démontrer ce résultat ?

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Protégé : Après-midi d'intégration

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Bonne rentrée 2016 !

Bienvenue sur le site "mathématiques et informatique" en BCPST2 du lycée Externat des enfants nantais.

Vous y trouverez des outils de travail, une vue synthétique de notre progression mais aussi des informations qui j'espère vous seront utiles à la préparation des trois concours ouverts à cette filière, Agro-Véto, ENS et G2E.

Bonne année à tous !

 

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