Polynômes

Charles-Ange Laisant, polytechnicien d'origine nantaise (Indre, 1841 - Asnière-sur-Seine, 1920), successivement militaire, enseignant en classes préparatoires, député de la Loire inférieure puis de la Seine fortement engagé dans les mouvements républicains radicaux (boulangiste, dreyfusard, puis anarchiste) s'est toujours investi de façon active dans diverses sociétés mathématiques mais aussi dans plusieurs réformes de l'enseignement des mathématiques.
Il tente notamment de mettre en place une pratique de l'algèbre qui s'appuie sur les figures élémentaires de la géométrie, dégagée de l'analyse et des équations. Et c'est dans ce contexte qu'il reprend une méthode graphique, mécanique, permettant d'approcher les racines d'un polynôme de degré quelconque. Cette méthode n'est pas nouvelle. Elle a d'abord été imaginée par Johan Andreas Von Segnier en 1758, reprise par Eduard Lill, capitaine du génie, en 1867 [Résolution graphique des équations numériques de tous les degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but, Nouvelles Annales de mathématiques (2), 6 (1867), 359-362] .

Vous trouverez ci-dessous le texte original, très court, d'Eduard Lill.
Pour vous aider à le lire, vous ouvrirez en parallèle le fichier Geogebra dans lequel a_3, a_2, a_1 et a_0 désignent les coefficients du polynôme : P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.
Déplacez le point A' et confrontez les figures obtenues à celle proposée par Lill. Modifiez ensuite les coefficients du polynôme si vous le souhaitez.
Son article se termine par une question... Sauriez-vous y répondre ? Plus généralement, à l'appui du fichier Geogebra, sauriez-vous prouver que, si AA'=x, alors C'D=P(x) ? Vous aurez alors justifié graphiquement l'algorithme de HORNER dont je vous propose la preuve dans le notebook sur les polynômes dont voici le lien : Notebook-polynômes.

Et si vous aimez ce genre de visualisation algébrique, vous ne manquerez pas d'aller voir danser les racines ! Cette idée est proposée par un grand ami de Laisant, Edouard Lucas et joliment exposée .