Arithmétique des infinis

Historiquement, ce sont les séries numériques (arithmétique des infinis initiée en grande partie par Wallis dès 1655) qui, dès l'élaboration du calcul intégrale au XVIIè siècle, s'avèrent avoir la plus grande intimité avec les problèmes dits "de quadrature", alors très à la mode.

Observons comment Nicolas Mercator, dans son Logarithmotechnia de 1668, justifie la formule qui porte aujourd'hui son nom (bien qu'obtenue sous une forme proche, mais non publiée, par Newton dès 1736) :

\ln(1+x)=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cfrac{x^4}{4}+\cdots

Dans un premier temps, les logarithmes ne semblent pas l'intéresser et il se concentre sur la quadrature de l'hyperbole en donnant le moyen d'approcher \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt .

Nous traduisons sa présentation aujourd'hui difficile à suivre car elle repose sur le langage des indivisibles (somme de lignes ou de petits rectangles de largeur infiniment petite), présentation d'ailleurs suffisamment compliquée pour que Wallis, la même année, en fournisse une réécriture que nous allons suivre :

  1. Il met en évidence la subdivision régulière sur l'intervalle [1,1+h] définie par c_k=1+k\cfrac{h}{n}, 0\leq k\leq n et écrit que \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cfrac{1}{1+\frac{kh}{n}}
  2. Il montre [Prop. XIV] que \cfrac{1}{1+a}\approx 1-a+a^2-a^3+a^4 (&c).
    Il le fait non pas comme nous l'avons fait en cours, en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, mais en utilisant une division suivant les puissances croissantes de a.
    Notons que, même si la question de la convergence d'une telle somme ne se pose pas explicitement au XVIIè siècle, Wallis souligne que a ne doit pas être supérieur 1 (il va de soi que a est positif...).
  3. On peut penser qu'il suffit d'intégrer la relation qui précède pour obtenir la somme attendue sauf qu'il n'est pas du tout évident, à cette époque, que l'aire sous l'hyperbole soit un logarithme, autrement dit que : \int_0^{h}\cfrac{1}{1+t}dt=\ln(1+h)...
  4. La démarche est donc la suivante : \cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}=1-\cfrac{h}{n}+\cfrac{h^2}{n^2}-\cfrac{h^3}{n^3}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}=1-\cfrac{2h}{n}+\cfrac{4h^2}{n^2}+\cdots
    \cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}=1-\cfrac{3h}{n}+\cfrac{9h^2}{n^2}+\cdots
    \cdots
    \cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}=1-(n-1)\cfrac{h}{n}+(n-1)^2\cfrac{h^2}{n^2}+\cdots
  5. Or, comme : {\small \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx \cfrac{h}{n}\left(1+\cfrac{1}{1+\frac{h}{n}}+ \cfrac{1}{1+\frac{2h}{n}}+\cfrac{1}{1+\frac{3h}{n}}+\cdots +\cfrac{1}{1+(n-1)\frac{h}{n}}\right)}
  6. On obtient en regroupant les termes :\displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k+\cfrac{h^3}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2-\cdots
  7. Or Wallis a démontré que \cfrac{1}{n^{i+1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^i tend vers \cfrac{1}{i+1} quand n tend vers l'infini.
  8. Finalement, on a obtenu que : \displaystyle\int_1^{1+h}\cfrac{1}{t}dt\approx h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Question : Sauriez vous redémontrer le point 7. ?

Quant à Mercator, son travail n'est pas fini car il s'assure dans un second temps du caractère logarithmique des aires hyperboliques obtenues, ce qui donne lieu à des calculs fastidieux.

Finalement, il obtient bien pour peu que |h|<1 :

\ln(1+h)=h-\cfrac{h^2}{2}+\cfrac{h^3}{3}-\cfrac{h^4}{4}+\cdots

Retenons que ce travail de Mercator préfigure l'adoption par les mathématiciens de la fin du XVIIè du développement en séries pour le calcul des logarithmes. Dans le même temps, ils identifieront désormais aires hyperboliques et logarithmes.

Quant à vous, bien loin des tâtonnements des débuts de l'histoire des logarithmes, vous relierez l'exercice 6 du TD 4 pour une preuve conforme à votre programme, que pour h=1, on a bien :

\ln(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{k-1}}
{k}