Les séries infinies, les voyages et la navigation...

En avril 1691, Leibniz rédige un article dans les Acta Eruditorum destiné à mettre à la portée des navigateurs les propriétés de la loxodromie : "Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum quae centrum habent, indeque ducta trigonometria conanica ad quatamucunque in numeris exactis exactitudinem a tabularum necessitate" (Quadrature arithmétique commune aux section coniques à centre d'où sont déduites des règles de trigonométrie permettant d'obtenir tout l'exactitude qu'on souhaite, sans avoir besoin de tables).

Le calcul de la courbe loxodromique qui coupe les méridiens terrestres sous un angle constant fait partie des applications concrètes du développement en séries. L'idée est de conférer, dans les calculs d'approximation, la préférence aux "développements en séries" sur les tables numériques disponibles à l'époque. Il s'en expliquait d'ailleurs dans une lettre à Galloys de décembre 1678 :

"En retenant seulement dans la mémoire deux progressions très simples que j'y donne et qu'on ne saurait quasi oublier, quand on les a une fois apprise (;-), on pourra résoudre par là aisément tous les problèmes de Trigonométrie, sans les Tables, sans les instruments, et sans livres, avec autant d'exactitude qu'on voudra. Ce qui sera d'un grandissime usage pour les voyageurs, qui ne peuvent pas toujours porter leurs livres avec eux. avoir des tables est une commodité, mais ne pouvoir pas résoudre les problèmes sans les tables est une imperfection de la science, à laquelle je prétends d'avoir remédié."

Énigme : Sauriez-vous reconnaître et justifier les formules suivantes, données par Leibniz dans son article, en précisant que le sinus de l'ancienne géométrie correspond au produit du sinus moderne par le rayon du cercle, le sinus du complémentaire correspond au produit de notre cosinus par le rayon et le sinus verse à la différence entre le rayon et le sinus du complémentaire (soit r\cdot\left(1-\cos(a)\right)...) ?

"Soit donc un rayon égal à un, un arc a, t la tangente, s le sinus droit, v le sinus verse, l un logarithme, 1+n le nombre, nous aurons :

 a=\cfrac{1}{1}t-\cfrac{1}{3}t^3+\cfrac{1}{5}t^5-\cfrac{1}{7}t^7 etc.

s = a-\cfrac{a^3}{1.2.3}+\cfrac{a^5}{1.2.3.4.5} etc.

v = \cfrac{a^2}{1.2}-\cfrac{a^4}{1.2.3.4}+\cfrac{a^6}{1.2.3.4.5.6}etc.

l = \cfrac{1}{1}n-\cfrac{1}{2}n^2+\cfrac{1}{3}n^3-\cfrac{1}{4}n^4etc.

n = \cfrac{l}{1}+\cfrac{l^2}{1.2}+\cfrac{l^3}{1.2.3}+\cfrac{l^4}{1.2.3.4}etc

Ce à quoi il ajoutait :

"La grandeur dont les puissances apparaissent dans une série infinie doit toujours être plus petite que un, afin de devenir aussi petite qu'on veut à mesure qu'on la poursuit. [...]

J'ai préféré ne recopier que les séries de composition assez facile pour se fixer aisément dans la mémoire, susceptibles de suppléer en tout lieu le défaut de livres ou de tables. Je ne leur en adjoindrai qu'une seul, parce qu'elle est très simple et qu'elle a fourni le point de départ de cet article : soient c les sinus des angles complémentaires, les sinus directs ou plutôt ce qui revient au même, leurs inverses, auront pour logarithme :

\cfrac{1}{2}c^2+\cfrac{1}{4}c^4+\cfrac{1}{6}c^6+\cfrac{1}{8}c^8 etc."

Vous avez bien compris qu'il s'agissait de ln\left(\cfrac{1}{1-\cdots}\right)

Question : Sauriez-vous retrouver ce résultat au voisinage de 0 ?